1. 图的基本概念

图（graph）是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。我们可以将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

\[\begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \\ E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \\ G & = \{ V, E \} \\ \end{aligned}\]

如果我们将顶点看作节点，将边看作连接节点的引用（或指针），则图可以视为从链表扩展而来的数据结构。如下图所示，相较于线性结构（链表）和分支结构（树），网络结构（图）的自由度更高，因此更为复杂。

链表、树、图之间的关系

2. 图的常见类型与术语

根据边的方向性，图可分为无向图（Undirected Graph）和有向图（Directed Graph），如下图所示。

无向图：边表示两个顶点之间的双向连接关系。例如，社交应用中的“好友关系”。
有向图：边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 与 $A \leftarrow B$ 是独立的。例如，社交媒体中的“关注”与“被关注”关系。

有向图与无向图

根据所有顶点是否连通，图可分为连通图（Connected Graph）和非连通图（Disconnected Graph），如下图所示。

连通图与非连通图

图的边还可以赋予权重，从而得到有权图（Weighted Graph）。例如，在多人在线游戏中，系统根据共同游戏时间计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

有权图与无权图

图数据结构中常见的术语包括：

邻接（Adjacency）：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点为邻接顶点。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
路径（Path）：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列称为从 A 到 B 的路径。在上图中，边序列 1-5-2-4 是从顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
度（Degree）：一个顶点拥有的边数。在有向图中，入度（In-degree）表示指向该顶点的边数，出度（Out-degree）表示从该顶点指出的边数。

图常用的表示方法有“邻接矩阵”和“邻接表”。以下以无向图为例进行说明。

设图的顶点数为 $n$，邻接矩阵（Adjacency Matrix）用一个 $n \times n$ 的矩阵表示图。矩阵的行和列代表顶点，矩阵的元素表示顶点之间的边，用 $1$ 表示有边相连，用 $0$ 表示无边相连。

如下图所示，设邻接矩阵为 $M$，顶点列表为 $V$，矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 和顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之则表示两顶点之间无边。

图的邻接矩阵表示

邻接矩阵具有以下特性：

使用邻接矩阵表示图时，可以直接访问矩阵元素获取边信息，增删查改操作效率高，时间复杂度为 $O(1)$。但由于矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$，内存占用较多。

邻接表（Adjacency List）用 $n$ 个链表表示图，链表的节点表示顶点。第 $i$ 个链表对应顶点 $i$，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

图的邻接表表示

邻接表只存储实际存在的边，因此空间利用更为高效，尤其当边的数量远小于 $n^2$ 时。然而，在邻接表中查找边时需要遍历链表，时间效率不如邻接矩阵。

观察上图，邻接表的结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，可以使用类似的方法优化效率。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，将查找效率优化至 $O(\log n)$；或者将链表转换为哈希表，将时间复杂度降至 $O(1)$。

下表展示了图在现实生活中的一些常见应用场景，相应的问题通常可以通过图计算方法来解决。

表 1: 现实生活中常见的图应用

场景	顶点	边	图计算问题
社交网络	用户	好友关系	潜在好友推荐
地铁线路	站点	站点间的连通性	最短路线推荐
太阳系	星体	星体间的万有引力作用	行星轨道计算